Una significativa applicazione pratica della teoria della probabilità è senz'altro lo studio probabilistico nel gioco del lotto.
Per comodità, si riporta di seguito un promemoria che può essere utile a chiarire o rinfrescare alla memoria alcuni meccanismi e terminologie di questo gioco.
Il giocatore può tentare di vincere puntando sull'uscita di diverse
"combinazioni" di numeri:
ambata - un solo numero;
ambo - due numeri;
terno - tre numeri;
quaterna - quattro numeri;
cinquina - cinque numeri.
Quando si gioca si deve far attenzione che l'uscita dei numeri messi in gioco avvenga sulla ruota nella quale si è puntato. Non è possibile, ad esempio, fare un ambo con un numero su una ruota ed un'altro su un'altra ruota. A seconda della quantità di numeri messi in gioco e della combinazione su cui si punta è possibile stabilire a priori quale sia, in caso di vincita, la quota da riscuotere.
Giocando un'ambata si vince 11,232 volte la posta.
Giocando due numeri per ambo si vince 250 volte la posta.
Giocando tre numeri per terno si vince 4.250 volte la posta.
Giocando quattro numeri per quaterna si vince 80.000 volte la posta.
Giocando cinque numeri per cinquina si vince 1.000.000 volte la posta.
Per maggiori informazioni a riguardo consultate la tabella dei
fattori di guadagno.
Sorge quindi spontanea una domanda:
Conviene giocare al lotto?
La risposta è no, se si considerano le quote che paga lo Stato. Il gioco non è da considerarsi equo dato che lo Stato paga meno di quanto dovrebbe. Ad esempio, un ambata dovrebbe essere pagata 90/5=18 volte invece delle reali 11,232. Stessa cosa per l'ambo che dovrebbe essere pagato 4005/10=400,5 volte invece delle reali 250. In rapporto all'equità di gioco le combinazioni dell'ambata e dell'ambo sono le più convenienti.
Spesso alla televisione si sente dire: "Il tal numero non viene estratto da tot settimane...".
Ma conviene realmente giocare sul numero più ritardato?
Raramente. L’esperienza del giocatore è certamente limitata ad un periodo breve (se rapportato alle combinazioni possibili) e questo spesso può trarre in inganno la maggior parte dei giocatori che distorcono a loro piacimento la legge dei grandi numeri: essi, infatti, ritengono che, se un numero non è uscito da molto tempo, è molto facile che venga estratto a breve.
In realtà, la probabilità che esca in una ruota un qualsiasi numero è sempre 1/90 (questo vale per la prima estrazione: alla seconda estrazione essa sarà 1/89, poi un 1/88, 1/87, e, infine, 1/86).
E' disponibile una tabella che indica quanti ambi, terni, quaterne e cinquine esistono, giocando una certa quantità di numeri (per comodità si considereranno al massimo 20 numeri). Ad ogni modo, si segnala che con 90 numeri esistono:
Alcuni giocatori erroneamente deducono che la probabilità di uscita di un ambo su una ruota sia di 1 su 4005 non considerando che, ad ogni estrazione escono 5 numeri e quindi 10 ambi (vedi sempre la tabella). La risposta corretta è, invece, 1 su 4005/10=400,5.
Da questo presupposto si può determinare lo svantaggio del gioco in funzione di quanto sono pagate le vincite: sempre nel caso dell'ambo lo Stato paga 242,5 invece di 400,5 volte (quota che renderebbe il gioco equo).
In percentuale lo svantaggio che il giocatore ha nei confronti dello Stato è di (1-242,5/400,5)×100=39,46%; oppure, in altre parole, possiamo affermare che lo Stato paga il 60,54% di quello che dovrebbe pagare affinchè il gioco fosse equo.
Questo 39,46% è la "tassa" che il giocatore deve pagare per giocare. Nel caso delle altre combinazioni superiori all'ambo, questa "tassa" aumenta sensibilmente fino a toccare il 98% circa se si mette in gioco una cinquina!
Alla base di questa tabella vi è la formula delle combinazioni semplici (vedi anche la pagina sulla distribuzione binomiale):
Nel caso si voglia conoscere le combinazioni che compongono una
cinquina, avremo:
(5×4×3×2×1)/(2×1×(3×2×1))= 10 ambi
(5×4×3×2×1)/(3×2×1×(2×1))= 10 terni
(5×4×3×2×1)/(4×3×2×1×(1))= 5 quaterne
(5×4×3×2×1)/(5×4×3×2×1(1))= 1
cinquina
Non molti sanno che vi è un modo alternativo e "curioso" di calcolare il numero di combinazioni che compongono una serie: si può sfruttare il "triangolo di Tartaglia" - usato anche dai matematici per conoscere i coefficienti binomiali -, dove i numeri ricercati sono ricavati dalla somma dei due numeri della riga superiore:
Analizzando la quarta riga scopriamo che una quartina è composta da:
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