La distribuzione binomiale

Nella la sua Ars Conjectandi, lo svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705) formulò una legge matematica che costituisce la base teorica della distribuzione binomiale e che oggi è considerata uno dei fondamenti del calcolo della probabilità:

Considerato un evento E relativo a un determinato esperimento, la probabilità che, su n prove indipendenti condotte tutte nelle medesime condizioni, si abbiano k successi, con k<=n è: P(X=k) = (ⁿ_k) p^k × q^n-k = {n!/(k!×(n-k)!} × p^k × q^n-k dove X indica la variabile aleatoria che conta il numero di successi, p la probabilità del singolo evento E, costante in tutte le prove, e q la probabilità dell'evento non(E), quindi q=1-p.

Uno schema di Bernoulli possiede, in sostanza, le seguenti caratteristiche:

ogni prova è un esperimento casuale che può avere soltanto due esiti possibili, con probabilità effettive p e q=1-p;
ogni prova effettuata è indipendente da ogni altra prova e, quindi, in ogni prova la probabilità p di successo è costante.

Quante volte vi è capitato di giocare a testa o croce?

Sicuramente molte... Ciò a cui forse non avete mai pensato è trovare un metodo per determinare l'esatta probabilità che, in un dato numero di lanci, si verifichi una certa quantità di successi (cioè di teste o di croci, a seconda del punto di vista).

Se ammettiamo che l'evento testa (0) sia equiprobabile all'evento croce (1), cioè che le loro probabilità valgano entrambe 0.5 (50%), su due lanci, la probabilità di avere due croci, ad es., sarà:

0.5 × 0.5 = 0.25

Poniamo ora che i due eventi non siano equiprobabili e che i lanci siano un numero qualsiasi n. Poniamo inoltre che i successi siano un qualsiasi numero k.

Il problema si complica.

Sia p la probabilità di un evento; ne consegue che la probabilità dell'evento opposto q è 1-p.

La formula risolutiva di questo problema è quella precedentemente illustrata.

Questa formula vale non solo per il gioco "testa o croce?", ma logicamente anche per molti altri che presuppongono due soli eventi. Essa può tuttavia essere adattata anche al gioco della roulette: basta assegnare a p la probabilità del numero su cui si punta e ne conseguirà che q rappresenta la probabilità di tutti gli altri numeri. Lo stesso discorso vale anche, ad es., per il gioco dei dadi.

Ora, se volete, provate questo gioco, inserendo il numero delle iterazioni (n), quello dei successi (k) e, infine, la probabilità dell'evento favorevole (p).

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