La distribuzione di Poisson

Vi sono fenomeni in cui determinati eventi, con riferimento ad un particolare periodo di tempo, accadono raramente: il numero di eventi che si verifica in quel periodo è aleatorio e varia da 0 a un numero n, il cui valore non è determinabile a priori. Un esempio: il numero di gol che l'insieme delle squadre di serie A può segnare, sempre con specifico riferimento ad un prefissato periodo di tempo.

Da un punto di vista storico, il matematico e fisico francese Siméon-Denis Poisson (1781-1840) è l'autore dell'enunciazione della formula che descrive la distribuzione omonima. Un'applicazione pratica significativa e famosa è quella connessa agli studi del dott. von Bortkewitsch sulle morti per calci di cavalli nell'esercito prussiano alla fine del XIX secolo.

Prima di enunciare la formula che descrive una distribuzione di Poisson, è utile avere presenti le caratteristiche cui deve soddisfare un processo per poter essere considerato poissoniano:

il numero di arrivi che possono verificarsi in ogni intervallo di tempo, o di spazio, preso in considerazione, è una variabile aleatoria indipendente (ogni arrivo non è influenzato dai precedenti e non influenza i successivi);
ogni arrivo avviene raramente, e, quindi, per un intervallo di tempo sufficientemente piccolo, il numero di arrivi non è superiore a 1;
la probabilità che si abbiano simultaneamente k arrivi è costante al trascorrere del tempo; ciò vuol dire che, per distinti intervalli di tempo, la probabilità di k arrivi simultanei è costante.

Se indichiamo con N(t) il numero di intervalli di tempo considerati per fenomeni aventi le caratteristiche appena descritte, vale la seguente formula di Poisson:

p(N(t) = k) = ((αt)^k / k!) × e^-αt
k ε {1, 2, 3, ...}

α rappresenta il numero medio di arrivi nell'unità di tempo e dipende esclusivamente dal particolare fenomeno preso in considerazione.

Un esempio: ad una guardia medica arrivano in media 3,5 richieste ogni ora di interventi urgenti a domicilio. Calcolare la probabilità che in una stessa ora arrivino 3, 4, oppure 5 chiamate urgenti. Il fenomeno può essere descritto utilizzando la formula di Poisson, con α = 3,5. Si ha:

p(N(1) = 3) = (3,5³ / 3!) × e^-3,5 = 0.21579

p(N(1) = 4) = (3,5⁴ / 3!) × e^-3,5 = 0.1888

p(N(1) = 5) = (3,5⁵ / 3!) × e^-3,5 = 0.13217

Una distribuzione di Poisson può essere approssimata da una distribuzione binomiale, quando il parametro p è piccolo e il numero n di prove è grande. Se, infatti, un determinato intervallo t di tempo è suddiviso in n periodi, con n sufficientemente grande, allora possiamo considerare ragionevole supporre che in ognuno di questi periodi vi sia al massimo un solo arrivo.

Ritorna alla pagina principale.

Ritorna alla homepage di Lorenzo Azzalini.