I numeri primi

Circa 2300 anni fa, nella proposizione 20 del Libro IX dei suoi Elementi, Euclide diede la dimostrazione che la riserva di numeri primi è inesauribile.

Ammettiamo, ragionava Euclide, che esista un numero finito di primi. In questo caso uno di essi - chiamiamolo P - sarà il più grande. Ora consideriamo il numero Q, più grande di P, uguale al prodotto dei numeri interi consecutivi da 2 a P più il numero 1. In altre parole: Q= (2×3×4×...×P)+1. Dalla forma del numero Q è evidente che esso non è divisibile esattamente per nessun intero da 2 a P; ogni divisione lascerebbe un resto di 1. Se Q non è primo, dev'essere esattamente divisibile per qualche primo maggiore di P. D'altro canto, se Q è primo, lo stesso Q è un primo maggiore di P. Entrambe le possibilità implicano l'esistenza di un primo più grande di quello, P, assunto quale più grande di tutti. Il che significa, è chiaro, che il concetto di "primo più grande di tutti" è una fantasia. Ma, se un mastodonte simile non esiste, il numero dei primi dev'essere infinito.

La caccia ai grandi primi ha fatto un bel po' di strada dal XVII secolo, quando Marin Mersenne, monaco parigino, si ritagliava del tempo sottraendolo ai suoi doveri monastici per dedicarsi alla loro ricerca. Un numero come 2^3.021.377 - 1, cioè della forma 2ⁿ - 1, è detto numero di Mersenne. Perché un numero di Mersenne sia primo, dev'esserlo lo stesso n. Quindi, essendo 2^3.021.377 - 1 primo, dev'essere primo anche 3.021.377. Ma il fatto che n sia primo non garantisce, invece, che lo sia il numero di Mersenne corrispondente. Quando n assume i valori dei primi quattro numeri primi, si generano in effetti primi di Mersenne:

n	2n - 1
2	3
3	7
5	31
7	127

Ma quando n è il quinto numero primo, cioè 11, il corrispondente numero di Mersenne si rivela composto (2¹¹ - 1 = 2.047, i cui fattori primi sono 23 e 89). Nel 1644 Mersenne stesso affermò che quando n assumeva i valori del sesto, settimo e ottavo numero primo, cioè 13, 17 e 19, i corrispondenti numeri di Mersenne, 2¹³ - 1 (=8.191), 2¹⁷ - 1 (=131.071) e 2¹⁹ - 1 (= 524.287), erano primi. Aveva ragione.

Il monaco rivendicò pure arditamente la primalità di 2⁶⁷ - 1. L'affermazione non venne messa in discussione per più di 250 anni, finché, nel 1903, Frank Nelson Cole della Columbia University tenne, ad un incontro della American Mathematical Society, una relazione umilmente intitolata "Sulla fattorizzazione dei grandi numeri". Cole andò alla lavagna ed elevò 2 alla 67ma potenza, per poi sottrarvi 1. Il risultato fu 147.573.952.589.676.412.927. Allora, moltiplicò, sempre a mano, 193.707.721 × 761.838.257.287.

I due calcoli corrispondevano. Mersenne aveva torto.

I numeri primi sono elusivi perché né la formula di Mersenne, 2ⁿ - 1, né nessun altra genera solo primi. La tecnica utilizzata dal progetto GIMPS non è molto più sofisticata di un metodo vecchio di duemila anni, detto crivello di Eratostene, ideato da Eratostene di Alessandria. L'idea del crivello è semplice: si elenchino i numeri interi positivi consecutivi partendo da 2. Poi si cancellino tutti i multipli del primo numero primo, 2. Resta il primo successivo, 3. Si cancellino tutti i multipli di 3. Resta il primo successivo, 5. Si cancellino tutti i multipli di 5. Ogni successiva "crivellatura" rivela un altro primo.

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